4.2 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

El concepto de cóncavo y convexo explica la forma geométrica que tiene una función.

En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle.

Diremos que una función es cóncava (o cóncava hacia abajo) si dados dos puntos cualesquiera (M y N) de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función. También se llaman funciones estrictamente cóncavas. 

Sean f y f ' derivables. Si estudiamos la función analíticamente, diremos que f es convexa en un punto x si la segunda derivada es mayor que 0 (f ''(x) > 0) y cóncava si es menor que 0 (f ''(x) < 0).

El concepto de cóncavo y convexo  se puede estudiar en toda la función o a nivel local en un punto (concavidad y convexidad en un punto) o en un intervalo (concavidad y convexidad en un intervalo). 

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión x0 es un punto donde la función cambia de concavidad (la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava).

Formalmente, diremos que un punto x0 es de inflexión si:

El número de puntos de inflexión depende de las raíces que tenga la segunda derivada de f.

4.1 MAXIMOS Y MINIMOS

Un punto máximo relativo es un punto en el que la función cambia de dirección de creciente a decreciente (lo que hace a ese punto una "cima" en la gráfica).

Del mismo modo, un punto mínimo relativo es un punto en el que la función cambia de dirección de decreciente a creciente (lo que hace ese punto un "valle" en la gráfica).

Suponiendo que ya sabes cómo encontrar intervalos crecientes y decrecientesde una función, encontrar puntos extremos relativos involucra un paso más: determinar los puntos en los que la función cambia de dirección.

3.4 REGLA DE LA CADENA Y DERIVACIÓN IMPLÍCITA

En calculo Diferencial, la regla de la cadena no es más que la resultante de la derivada de la composición de 2 funciones, a esto también se le conoce como composición de funciones y se ve más a fondo en el calculo algebraico.

En términos más simples (entre comillas), si tenemos una variable nombrada como “y”, la cual depende de una segunda variable “u”, que a su vez depende de una tercera variable del tipo “x”; entonces, concluimos que la razón de cambio de “y” con respecto a “x” puede ser obtenida con el producto proveniente de la razón de cambio de “y” con respecto a “u” multiplicado por la razón de cambio de “u” con respecto a “x”.

3.3 REGLA DEL PRODUCTO Y REGLA DEL COCIENTE

REGLA DEL COCIENTE 

3.2 LA DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

Sea  f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

Aceleración instantánea:

Aceleración instantánea:

 

3.1 LA DERIVADA

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función, es la razón de cambio instantánea con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

2.2 CONTINUIDAD

Definición:Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.


Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Observación
La continuidad de f en x=a implica que se cumplan estas tres condiciones:
a.- Existe el límite de la función f(x) en x=a.b.- La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).c.- Los dos valores anteriores coinciden.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.