4.2 CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

El concepto de cóncavo y convexo explica la forma geométrica que tiene una función.

En términos visuales, una función cóncava se asemeja a una montaña, mientras que una función convexa a un valle.

Diremos que una función es cóncava (o cóncava hacia abajo) si dados dos puntos cualesquiera (M y N) de su gráfica, el segmento que los une queda por debajo de la curva de la función. También se llaman funciones estrictamente cóncavas. 

Sean f y f ' derivables. Si estudiamos la función analíticamente, diremos que f es convexa en un punto x si la segunda derivada es mayor que 0 (f ''(x) > 0) y cóncava si es menor que 0 (f ''(x) < 0).

El concepto de cóncavo y convexo  se puede estudiar en toda la función o a nivel local en un punto (concavidad y convexidad en un punto) o en un intervalo (concavidad y convexidad en un intervalo). 

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión x0 es un punto donde la función cambia de concavidad (la función pasa de cóncava a convexa o de convexa a cóncava).

Formalmente, diremos que un punto x0 es de inflexión si:

El número de puntos de inflexión depende de las raíces que tenga la segunda derivada de f.

4.1 MAXIMOS Y MINIMOS

Un punto máximo relativo es un punto en el que la función cambia de dirección de creciente a decreciente (lo que hace a ese punto una "cima" en la gráfica).

Del mismo modo, un punto mínimo relativo es un punto en el que la función cambia de dirección de decreciente a creciente (lo que hace ese punto un "valle" en la gráfica).

Suponiendo que ya sabes cómo encontrar intervalos crecientes y decrecientesde una función, encontrar puntos extremos relativos involucra un paso más: determinar los puntos en los que la función cambia de dirección.

3.4 REGLA DE LA CADENA Y DERIVACIÓN IMPLÍCITA

En calculo Diferencial, la regla de la cadena no es más que la resultante de la derivada de la composición de 2 funciones, a esto también se le conoce como composición de funciones y se ve más a fondo en el calculo algebraico.

En términos más simples (entre comillas), si tenemos una variable nombrada como “y”, la cual depende de una segunda variable “u”, que a su vez depende de una tercera variable del tipo “x”; entonces, concluimos que la razón de cambio de “y” con respecto a “x” puede ser obtenida con el producto proveniente de la razón de cambio de “y” con respecto a “u” multiplicado por la razón de cambio de “u” con respecto a “x”.

3.3 REGLA DEL PRODUCTO Y REGLA DEL COCIENTE

REGLA DEL COCIENTE 

3.2 LA DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR

Sea  f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima derivada.

Aceleración instantánea:

Aceleración instantánea:

 

3.1 LA DERIVADA

En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función, es la razón de cambio instantánea con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

2.2 CONTINUIDAD

Definición:Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.


Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Una función es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto, es decir

Observación
La continuidad de f en x=a implica que se cumplan estas tres condiciones:
a.- Existe el límite de la función f(x) en x=a.b.- La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).c.- Los dos valores anteriores coinciden.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.

2.1 DEFINICIÓN Y PROPIEDADES DE LOS LIMITES

El límite de una función en un punto es obtener el valor al que se va aproximando esa función cuando x tiende a un determinado punto, pero sin llegar a ese punto.

Se representa de la siguiente manera



Que significa, tal y como te acabo de decir, que cuando X tiende al punto Xo, el valor de la función se va aproximando a L, por tanto, el límite de esa función cuando X tiende a Xo es L. Gráficamente quedaría de la siguiente manera:

Que significa, tal y como te acabo de decir, que cuando X tiende al punto Xo, el valor de la función se va aproximando a L, por tanto, el límite de esa función cuando X tiende a Xo es L. Gráficamente quedaría de la siguiente manera:

Si te das cuenta, conforme nos vamos aproximando al valor Xo en el eje x, en el eje y, el valor de la función se va a aproximando al valor L.

x puede tender a cualquier valor, desde menos infinito hasta más infinito (ambos incluidos) y el límite de una función también puede ser desde menos infinito hasta infinito (ambos incluidos).

No hay que confundir el límite de una función con el valor de una función en punto, que es el valor que tiene la función justo en ese punto.

1.3 FUNCIONES INVERSAS, ASINTOTAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Funciones Inversas

Para encontrar la inversa de una función algebraiamente, intercambie la x y la y y resuelva para y

La inversa de una función f es usualmente denotada por f –1 y se lee “f inversa.” (Dese cuenta que el superíndice –1 en f –1 no es un exponente).


Las gráficas son imágenes espejo una de otra con respecto a la recta y = x .

Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito

Se clasifican en:

· Verticales

· Horizontales

· Oblicuas

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas f son aquellas que están asociadas a una razón trigonométrica.


Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres lados a, b y c.

· SENO

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).











La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

Dominio: lR

Codominio:[-1,+1 ]

· COSENO

El coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).





La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes).


Dominio:


Codominio:


· TANGENTE


La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).



La función de la tangente es periódica de período 180º (π radianes).


Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;…




Codominio:


· COSECANTE


La cosecante es la razón trigonométrica recíproca del seno, es decir csc α · sen α=1.


La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a).








La función de la cosecante es periódica de período 360º (2π radianes).


Dominio: (excepto a · π), siendo a un número entero.


Codominio:






· SECANTE


La secante es la razón trigonométrica recíproca del coseno, es decir sec α · cos α=1.


La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).













La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes).


Dominio: (excepto π/2 + a · π), siendo a un número entero. O, con esta casuística: x ≠ ±π/2; ±3π/2; ±5π/2;…


Codominio:






· COTANGENTE


La cotangente es la razón trigonométrica recíproca de la tangente, por lo tanto tan α · cot α=1.


La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y el cateto opuesto (a).








La función de la cotangente es periódica de período 180º (π radianes).


Dominio: (excepto a · π), siendo a un número entero.


Codominio:

1.2 COMBINACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado condominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del condominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). 

Tipos de funciones

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Función polinomica

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas.

1.1 DESIGUALDADES

La desigualdad refiere a la relación de orden que se establece entre valores que son distintos. Esto hace que un valor pueda ser mayor o menor a otro, pero no idéntico; si ambos fueran iguales, entonces se hablaría de igualdad.